数字在计算机中的“硬币表示”

2020-03-30

入门

技术

上篇博文引出了“硬币模型”，从“抛硬币”的角度描述了计算机数据的最本质属性。同时也介绍了为若干硬币赋予现实意义、实现更多数据在计算机表示的基本思路。

接下来我也会具体展开介绍一下数字、文字、音频、图像、视频在“硬币体系”下的表达，为你带来更直观的印象，本篇将重点介绍“数字”的表达。

1. 放下“硬币”

读过上篇博文的你，大概已经有了解我们说的“硬币体系”，它其实就是数学角度的 “二进制位”，这里先明确一个设定：

二进制位的值	抛硬币结果
0	反面
1	正面

为了更好地表达更复杂的概念，这时候的你需要逐渐放下“硬币”这样的模型，去适应那由符号 0 和 1 构成的数学世界啦。

2. 表达数字

我们用“二进制位”表达数字，也是和上文所说为硬币的正反状态赋予 “意义体系” 的思路。

这里介绍两个最常见的关于在计算机中表达数字的“意义体系”，一个是表达整数的补码表示法，一个是表达小数的浮点表示法。

3. 整数与补码表示法

表达整数，面临的第一个问题是：我们常用的整数，范围是从负无穷到正无穷，个数也是无穷的。而一台电脑不管能提供多少硬币，它都是有限的。自然，计算机的“硬币体系”所能表达的数字范围也是有限的。

我们必须接受一个现实：面对整数，计算机只能表达其中有限的一部分。

当然，从使用者角度，一般我们也不会用到无限大，所以只要硬币足够多，提供的状态数量还是足够日常的表达需要的。比如说，假如我们用 4 Bytes 也就是 32 枚硬币去表达一个数字，它能提供 $2^{32} = 4294967296$ （约43亿）个状态，平分下来可以用来表达 -21.5亿 ~ 21.5亿；若我们再加 4 Bytes，有了 8 Bytes （64枚硬币），就能提供 $2^{64} \approx 1.84 * 10^{19}$ 种状态，这个量级可以说是远远超出了日常用到的数量。所以说，虽然有限，但并不代表不够用。

我们知道，整数分为正整数、负整数和0，要用固定的状态数去表达整数，我们得有个约定的规则去分配这些状态数，最好能够保持整数的一部分运算性质。

补码表示法也正是在这个背景下，表达整数的一种规则，这里也简单介绍一下。

首先，补码规则的前提是，数字需要写成二进制形式（也就是说要能够通过摆若干个正反面硬币来表达），并且划定一个固定的位数（表示一个数字用多少枚硬币），比如说 4位、8位、16位、32位、64位等等。

然后是具体规则：

对于正数和 0 来说，它的补码即这个数字原始的二进制表达。
对于负数，它的补码是一个能与它的绝对值“互补”的数。

只是说“互补”自然是看的一脸懵逼的，这里我们用我们生活中常见的模型，做进一步解释。

3.1 钟表的运算模型

“补码”本质上是依赖某种类似钟表的模型设计的规则，假设我们有一个只有秒针的表，如图。

我们知道，表盘中有 60 个刻度，每一个刻度代表着从 0 - 59 中的一个数字；每过一秒秒针往前跳动一个刻度，假设我们从 0 出发，经过 20 秒，跳动二十个刻度，指针指向 20；再过 30 秒，指针指向 50。

时间再往后 20 秒，秒针再跳 20 格，它该指向哪里呢？70？显然不是，表盘没有 70 这个刻度，结合生活经验，我们知道它会停在 “10” 这个刻度上。

进一步说，无论你往前跳多少，只要你还在表盘内，每经过一次 60 就归零一次（触发一次进位），结果会一直在 0 - 59 之间循环。用数学的话来说，每超过 60 你就得减去 60，运用小学除法，最终的结果就是：

(“在第几个刻度出发” + “变化的刻度数”) 除以 “表盘总共的刻度数” 得到的余数。

在这个表盘中，我们只关心余数，顾名思义，这种运算也叫做“求余运算”，有个专门的运算符叫 $mod$ ，这时，求上面的表盘停在哪个刻度的计算过程，用数学符号表示就是：

(0 + 20 + 30 + 20) \space mod \space 60 = 10

表盘的体系中，刻度与刻度之间的运算，实际上都可以化为秒针的前后跳动，最后根据秒针跳动的刻度数 $mod\ 60$ 得到秒针该停下来的位置，对应的刻度即为运算结果。

3.2 刻度的分配策略

上文我们说到，负数在补码中的表达，是一个与它的绝对值“互补”的数，了解了钟表的刻度模型以后，接下来就是如何利用这个模型的规律，在钟表中分配一些属于负数的“刻度”。

钟表里 0-59 这六十个刻度，每满足一个 60 就会归零，化为两数相加，就是 $1+59=60$ ， $2+58=60$ ， $3+57=60$ ... 有没有发现规律所在？

我们用数学符号严格地把这样的规律表达出来，首先从钟表刻度的角度出发：

0 + 0\ mod\ 60 = 0 \\ (1+59)\ mod\ 60 = 0 \\ (2+58)\ mod\ 60 = 0 \\ (3+57)\ mod\ 60 = 0 \\ ... \\ (29+31)\ mod\ 60 = 0 \\ (30+30)\ mod\ 60 = 0

在整数的体系下出发：

0 + 0 = 0 \\ 1 + (-1) = 0 \\ 2 + (-2) = 0 \\ 3 + (-3) = 0 \\ 29 + (-29) = 0 \\ 30 + (-30) = 0

也就是说，我把钟表的后三十个分给负数，一部分整数的运算就成为了现实！

还有一个问题，刻度 30 只有一个，我不可能让它既表示 +30 又表示 -30，按设计补码的思路，我们把它分配给 -30（后面我会解释为什么）。

这时候刻度是这么分配的：

钟表的零刻度分给整数中的 0
刻度 1 ~ 29 分给整数中的 1 ~ 29
刻度 59 ~ 30 分给整数中的 -1 ~ -30

于是我们实现了 $-30 \to 29$ 这六十个数字在钟表体系下的分配。

3.3 实际的补码

计算机的运算过程也是类似的钟表结构，为了简单直观，这里我们以 4 个二进制位为例。

想象一下，我们有 4 枚硬币，可以构成 4 位二进制数，共有 $2^4 = 16$ 种正反面组合的情况，我们按照钟表的模型，画出对应的表盘。

此时你可以观察一下它们的对应关系，我们把补码与对应的十进制数列成表格：

补码	十进制
0111	7
0110	6
...	...
0010	2
0001	1
0000	0
1111	−1
1110	−2
...	...
1001	−7
1000	−8

除去 1000 和 0000，观察剩下的数字对应补码的首位，你可能会发现，补码里的正数第一位都是 0，补码的负数第一位是 1。为了运算电路实现的方便，这里我们就把第一位约定为 “符号位”，这样，剩下的 1000 就分给负数了。这就是为什么补码规则下 1000 对应了 -8 而不是 +8。

到这里，我们了解到了计算机表示整数的机制，当我们用更多的二进制位（上面说到的 8 位、16位、32位、64位），计算机的“钟表”就有更多的“刻度”可以提供给我们，就能表示更大的整数范围。现在流行的电脑、手机等设备都是 64 位了，上文有提到，它能提供的“钟表”有 $2^{64} \approx 1.84 * 10^{19}$ 个“刻度”，意味着至少可以表示 $\pm\ 9.2 * 10^{18}$ 的整数，日常绝对是够用了。

严格来说，计算机中补码依赖的上述钟表的运算模型属于 “同余”的范畴，我们叫它“整数”，只是因为同余的运算性质和整数类似，就像上文所说的“足够用”。这里只做蜻蜓点水，有兴趣深入的朋友可以自己搜索学习。

关于补码，这里还有一个有趣的小漫画：我男朋友是个程序员# 2 之《噩梦》

3.4 计算器的 “程序员” 模式

若你对补码感兴趣，还可以用电脑自带的“计算器”软件来手动转换，微软 Windows 系统提供了一个计算器软件（它是开源的），首先我们大概认识一下界面。

其中需要解释的概念是字长，字代表电脑一次处理运算事务的单位，字长即为这个单位有几个二进制位组成，我们可以理解为一个钟表有多少刻度。日常用到的字长分别有个名字：Byte, Word, DWord, QWord，列一个表格介绍下：

名字	全称	位数	“刻度”数
Byte（字节）	-	8	2^8
Word（字）	-	16	2^16
DWord（双字）	Double Word	32	2^32
QWord（四字）	Quadruple Word	64	2^64

切换到二进制输入模式，点击字长切换，我们可以直观地看到可用的“硬币数量”的变化。

4. 小数与浮点表示法

上面我们介绍了整数的表示，想要表示小数的话，我们需要定义的状态范围已经从整数扩展到了实数。

前面已经说过，计算机的二进制体系（“硬币体系”）所能表达的状态是有限的。整数的无限在于没有上限和下限，扩展到实数范围，它的无限除了上下限外，小数的本身也是 “无限” 的。这里的无限已经无孔不入，不可能再通过类似补码这样限制范围的方式解决。我们怎么用计算机的有限的状态去接近这无限的数字个数，便是这里最最核心的问题。

想通过 “有限” 去接近无限，也就意味着有所取舍。前人的研究下，设计了一种名为浮点数 (float point number) 的表示法来表示小数。

浮点数本身较为复杂，这篇小小的科普文章是无法承载，所以这里的目标是带来一个基本的印象，若有进一步的兴趣，可以自行阅读参考资料、在网上搜索学习。

4.1 “乘2”与移位

在继续介绍浮点数前，需要有一点计算机二进制位运算的基础。我们知道，在计算机中，所有的信息都是通过“二进制位”的组合去描述的。它在数学角度表现为类似 010101 这样的数字。

运算方面，若你有仔细观察过数字，你可能会注意到，十进制整数里面，我们每在数字末尾添一个 0，数字的值就 $*\ 10$ ，每砍掉末尾的一位，数字的值就 $÷\ 10$ 。比如说， $1230 = 123 * 10$ ， $123 = 1230 ÷ 10$ 。

二进制数一样有类似的规律，我们每在一个二进制位末尾添一个 0，数字的值就 $*\ 2$ ，砍掉末尾的一位，数字的值就 $÷\ 2$ 。

用枯燥的数学语言表示如下：

101_2 = 1*2^2+0*2^1+1*2^0 = 5 \\ 1010_2 = 1*2^3+0*2^2+1*2^1+0*2^0\\ = 10_{10} = 52

注：下标 $a_2$ 代表采用 2 进制给 a 计数，下标 $a_{10}$ 代表用 10 进制给 a 计数，省略下标代表都是十进制）

我们还可以把末尾添一个 0 理解位小数点往右移动一位，砍掉末尾一位，理解为小数点往左移动一位，然后丢掉小数点背后的部分。

从这个角度来看，移位操作也意味着小数点的移动，这也是浮点数中“浮点”的含义，无论二进制还是十进制。在十进制中， $\times 10^n$ 意味着小数点向右移动 n 位；在二进制中， $\times 2^n$ 同样意味着小数点向右移动 n 位。

唯一不同的是，二进制移位运算已经在机器层面实现，我们想要的十进制运算也是依赖它进行的。

4.2 浮点数基本结构

现在我可以正式地介绍浮点数了，和整数一样，首先要确定一次用多少个二进制位（硬币）来表达浮点数。常用的浮点数用到的二进制位个数有两种，32位和64位，这里先用 32 位（4 bytes）来说吧。

首先是分工，浮点数由 3 部分组成：符号位(sign)、指数(exponent)、有效数位(fraction)。

32 个二进制位的分配如下：

分一个给符号位，符号位为 1 时代表负、为 0 时代表正。
然后分 8 个位给指数，这个数参与最后的求值过程。
剩下还有 23 个位，分给有效数位，有效数位本身有 24 位，规则规定第一位一定是1，那就不需要再储存，省下1位，剩下23位实际储存。

这三部分各自储存了一个数字，最后的数值计算遵循如下规则：

value = sign\times fraction \times 2^{exponent}

上一节我们提到， $\times 2^n$ 相当于小数点向右移动 n 位，所以说，影响到精确度的关键，就在于有效数字 $fraction$ ， $exponent$ 影响的是数值的大小。

一张图片概括浮点数的求值过程：

4.3 浮点数类型

在上世纪六、七十年代，计算机公司的浮点数千差万别，无论是表达浮点数的位数、还是分配的规则，它们没有固定的标准，在信息交换的过程带来了混乱。

为了统一这种混乱，电气电子工程师学会制定了IEEE 二进制浮点数算术标准（IEEE 754），确定了浮点数各个细节的规范。

在 IEEE 754 标准中，上一节所介绍的 32 位浮点数规则有个确定的名字，叫做 单精度浮点数。

对应还有双精度浮点数，它使用 64 位（8 bytes）来存储一个浮点数，相比于单精度浮点数，它可以存储更多的有效数字、更大的指数，意味着更精确、能表示数字的范围更大。双精度浮点数的分配方案如下。

4.4 精度问题

浮点数是二进制的，有的十进制数字在转换为二进制数的时候可能会出现“无限循环小数”的情况，导致无法完全存储，依赖浮点数运算时会产生误差。

下面是一个 Python 的例子，我们发现，0.1+0.2 其实并不总是等于 0.3，通过括号改变运算顺序，竟会影响到最后的结果：

Python 的数字默认用了双精度浮点数，也就是说，转换成二进制后的精确值只能保留到小数点 52 位，0.1 与 0.2 对应的二进制的值如下。

0.1 -> 0.0001100110011001100110011001100110011001100110011001
0.2 -> 0.0011001100110011001100110011001100110011001100110011

实际上除了 0.5 外，0.1-0.9 中的数字在二进制角度的运算，都会因为无限循环导致出问题（你可以试试），由此来看，浮点数表达十进制小数，严格意义上在二进制视角是一个近似表达，运算时也会因为循环小数的二进制表达不完整而产生一些意料之外的结果。换句话说，浮点运算会丢失精度，这是我们使用时需要注意的。