抛硬币与计算机中的“数据”

2020-03-26

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最近与几个朋友聊到“信息的本质”相关的话题，惊讶地发现，即使是计算机相关专业在读，面对“数据究竟是怎么一回事”这个问题，许多人依然云里雾里（包括我）。

解决了这个最根本的问题，才好从计算机领域的各种复杂之中得以解脱。所以我也尝试以文章的形式梳理一下。

“数据” 与 “信息”

说到“数据”，自然和“信息”这个概念是分不开的。什么是信息呢？这个概念没有一个统一定义，但有一点可以确认的是：信息可以减少不确定性。对一件事情不确定，引入信息，把不确定变成确定，这是最基本的“通信“过程。

“通信”过程时时刻刻都在发生，你的肉眼看到的每一个画面，耳朵听到的每一点声音，神经传来的每一丝冲动，或多或少都在传递着信息，为你的大脑减少对外界的不确定性，辅助你的每一个决策。

传递神经冲�动的突触传递神经冲动的突触

这时候，“数据”像是一种客观角度下的“信息”存在，它从某个具体的角度描述了某个事物的特征。当我们需要确定某事物在某个角度的特点，这个角度对应的“数据”便可以给我们传递应有的信息。比如说，我想知道你的期末考试成绩如何，成绩单上对应这门课的数字，可以给我带来这方面的“信息”；我们看到一段文字、一张照片，了解到一件事情的来龙去脉，文字和照片传递了“信息”，这段文字、这张照片本身就是“数据”。

从这个角度上来看，“数据”实际上是“信息”的载体，我们从某个角度，解决对客观事物的不确定性，形成“数据”；然后我们再通过“数据”解决我们自身对客观事物的不确定性。也就是说，“数据”给我们传递了“信息”。以本文为例，我用文字记下了这篇文章，你在读这篇文章的时候，了解了我所讨论的“数据”与“信息”是怎么一回事。

数据与信息的关系

香农与信息的度量

上一小节的讨论只是一个粗略的印象，更上一层的讨论与发展应用，只有把根基确定下来才好继续进行。

1948年，美国数学家克劳德·香农发表了论文《通信的数学原理》，奠定了信息论的基础，确定了更上一层讨论发展赖以生存的根基。目前计算机领域有关信息处理的一切，都是在香农信息论的框架之下进一步发展出来的。

克劳德·艾尔伍德·香农

香农把热力学的熵引入信息论，给出了信息熵（一般也叫“信息量”）的定义，它是一串不那么直观的数学公式，这个公式表示的是整个随机事件 𝑋X 信息量的数学期望：

H(X)=\sum_{i}P(x_i)I(x_i)=-\sum_{i}P(x_i)log_bP(x_i)

其中：

$X$ 为一个随机事件，可能有 $x_1$ , $x_2$ , ..., $x_n$ 这 $n$ 种情况 $P(x_i)$ 为 $x_i$ 发生的概率， $I(x_i)$ 为 $x_i$ 发生对应的信息量 $b$ 为对数的底

当 $b=2$ ，熵的单位是 bit (比特)，当 $b=e$ ，熵的单位是 nat （奈特），当 $b=10$ ，熵的单位是 Hart。

在香农信息论下，我们有了一个准确度量信息的方法，为后面更多的数据处理过程打下了坚实的基础。

抛硬币问题

上面我们谈到了 bit，有的同学可能有所察觉，这个 bit 单位和计算机的 bit 是不是同一个东西？

答案自然是的。实际上，计算机领域的信息传递，归根结底符合一个类似**“确定抛硬币的结果”**的数学模型。

我们知道，抛出一枚硬币，落到地上，只有正面反面两种情况~~（不要问我为什么不能立起来）~~，它们发生的概率各为 $50\%$ 。也就是说，我抛出一枚硬币，落地后它有两种可能：

可能是正面
可能是反面

然后我去看地上的硬币，这时两种“可能”变成了一个“确定”的结果，“就是正面” 或者 “就是反面”。

在香农的理论下，我们可以推导出这个确定结果的过程对应传递的信息量。

假设条件：

$X$ ：抛一枚硬币，正反面两种情况 $x_0$ , $x_1$

$P(x_0) = P(x_1) = \frac{1}{2}$

$b = 2$ ：我们用 bit 作为单位

那么，信息量 $H(X)$ 即为：

H(X) = \sum_{i=0}^{1} P(x_i) (-log_2 P(x_i)) \\ = \sum_{i=0}^{1} \frac{1}{2} *(-log_2 \frac{1}{2}) \\ = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \\ = 1 \space bit

到这里我们知道了，从抛一次硬币的两种可能（正面 / 反面）之中确定一个结果的信息量，恰好就是 1 bit。

计算机的抛硬币模型

计算机存储与处理数据最基本的单位，依赖于某种具有两种状态的现实事物。比如说开关的通与断、灯泡的亮与灭、晶体管的导通和截止、电位的高电平与低电平等等。计算机领域所做的，正是为它们的两个状态分别赋予特定的意义。

在数学的角度，我们把二进制数字两个符号（"0" 和 "1"）的意义赋予到机器层面的这两个状态上，这时候基于 0 与 1 的二进制算术的规律也一起赋予到了这上面。当我们在机器层面按照二进制算术中的加法、减法、移位等运算把对应的状态转移机制实现，就把二进制算术的计算过程变成了可以运行的现实。

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图源《论只使用0和1的二进制算术》 - 莱布尼茨

在信息的角度，我们把前面提到的“抛硬币模型”赋予到计算机上面，把抛出一枚硬币得到的“正面”、“反面”的结果，对应到机器里面“开关”的“通”、“断”两种状态。由于计算机内部有成千上万个这样的“开关”，也就是说，它可以为我们确定抛成千上万次硬币、落地后的最终结果。

为了方便描述问题，原本一枚硬币抛成千上万次的过程，等价为“一次抛出成千上万枚硬币”之后，确定每一枚硬币的正反面状况。这时每一枚硬币只有一次被抛出的机会，那一枚硬币代表的信息量（熵）就是 1 bit。

两枚硬币的信息量

当我们把机器层面的“开关的两种状态”、数学角度的“二进制算术”、信息论角度的“抛硬币模型”联系在一起以后，我们眼中的计算机就拥有了基本的数据处理能力。

想像下，你眼前的手机或电脑，内部每时每刻都有无数“硬币”在其中不断翻转，是不是很壮观!

为硬币赋予现实意义

到这里我们抽象出了一个“硬币”的模型，就不用去关心计算机究竟是怎么实现的，管它是用灯泡、还是开关、亦或是晶体管。

我只需要关心这样的事实：一枚硬币，可以给我确定 1 bit 的信息，可以从正面或反面两种可能中确定一个结果；两枚硬币，可以从 $2\ ∗\ 2=2^2=4$ 种可能中确定一个结果，信息量 2 bit；三枚硬币，就是 $2\ ∗\ 2\ ∗\ 2=2^3=8$ 种可能中确定一个结果，信息量 3 bit ...

是的，计算机给我们提供了大量的硬币给我们使用，我们要做的，便是把这样的硬币和我们想让计算机做的事情联系在一起。

我们以三枚硬币(3 bit)为例，它所能够表示的 8 种可能状态列出来如下表：

硬币1	硬币2	硬币3
反	反	反
反	反	正
反	正	反
反	正	正
正	反	反
正	反	正
正	正	反
正	正	正

我们有了 反反反、反反正、反正反、反正正... 这 8 种可能状态，各自赋予一个具体意义，然后我们就能用 3 枚硬币去表达我们需要表达的东西。

我们以 8 进制数为例，看我们是怎么把 8 进制数的意义体系赋予到硬币上。

硬币1	硬币2	硬币3	赋予 8 进制数的意义
反	反	反	0
反	反	正	1
反	正	反	2
反	正	正	3
正	反	反	4
正	反	正	5
正	正	反	6
正	正	正	7

此时我们有了：

反反反 <--> 0

假设我们需要在八进制意义体系下表达十进制的 10，也就是八进制下的符号 12。1 和 2 两个符号的“硬币表示法”分别是：反反正、反正反。

也就是说，我们想表达十进制意义体系下的数字 10，以上面的八进制意义体系，再对应到计算机里面已实现的“硬币体系”的表达，需要六枚硬币摆成 反反正反正反 的状态，带来 6 bit 的信息量。

有没有一种“结绳记事”的味道？这里我把它叫做“摆硬币记事”。

英文字符的表示

上面我们为“硬币体系”赋予了八进制数字角度的意义，让计算机处理数学运算成为了可能。但机器总归是为人服务的，不可能总在处理上古时期的打孔纸带，为了处理更多类型的数据，需要有更多角度的意义体系赋予到硬币上。

接下来简单介绍下我们怎么为“硬币体系”赋予英文字符角度的意义。

假设我们只需要表示英文字母和数字。英文有26个字母，区分大小写，则有 52 个字符，加上 0-9 10个阿拉伯数字，有 62 个字符，也就是说，我们需要 62 种状态去赋予各个符号的意义。至少需要 6 枚硬币所能确定的 $2^6=64$ 种状态才可以表示。

这里产生了一个问题，我们自己发明的意义是很难考虑的很周到，在意义体系成型后，你需要向使用者讲述这里的约定，得付出大量的沟通成本。在这个角度，计算机世界的前辈们其实在很早就针对这个问题达成了一个共识，设计了一个通用的“意义体系”，那就是 ASCII，ASCII 是啥？

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ASCII 全称 American Standard Code for Information Interchange (美国信息交换标准代码)，它设计了现代英语字符与电脑的”硬币体系“的对应关系，它从1963年第一版发布到1986年最后一次更新，一共定义了 128 个字符。

为了方便表示，我们给硬币正反两面各自赋予一个符号，用数字 1 和 0，也就是数学里的二进制数。然后字母、数字和一部分字符和二进制位（硬币）的对应关系如下：

截图来源维基百科

在计算机中，我们用 8 个二进制位（硬币）来表示一个 ASCII 字符。实际上它只用到后 7 位（ $2^7=128$ ），第一位都是 0，参考下表：

1968 年版 ASCII 码速查表

在机器操作的效率等方面的考虑下，ASCII 的有的位还有一些特殊的意义，比如说，表中 $b_6$ 这一位为 0 时，对应大写字母，为 1 时则是小写字母，利用这个规律，大小写转换就变得十分简单。

到这里我们可以明确计算机描述现实数据的基本规律：

计算机在硬件上实现稳定的“二进制-硬币体系”
使用者为体系中硬币组成的各个状态赋予意义
根据意义，将现实数据转换为硬币角度的表示

现实中我们有更复杂的数字、文字、图片、视频和声音，数据多种多样，我们怎么用硬币和硬币之间的组合表示它们呢？限于篇幅，我们下篇文章再讨论这个话题吧~

数据量单位

前面提到，我们用许许多多的“硬币”去表示数据。保存数据（一系列“硬币”的正反状态）需要消耗仓库的空间、拷贝/传输数据（复制硬币摆放的状态）也需要成本。因此，某段数据本身的大小、空间占用、传输流量也是我们常关心的话题。

是的，这里我想说的就是 b, B, KB, MB, GB 等数据量单位的具体含义。明确了 “硬币” 的基本模型，理解这些单位自然也是水到渠成。

首先是最基本的单位，bit，简写 b，中文“比特”，就是前面我们提到的，在香农的理论体系下，确定一枚硬币正反面的信息量。

然后是 B, Byte ，中文翻译“字节”，电脑的 CPU、内存、网络等等均以 Byte 为最小的单位交换数据，所以说，我们日常接触到的最基本数据量单位都是 Byte。一个 Byte 包含了 8 个 bit。用 “硬币体系” 的话就是说，电脑每一次抛出的硬币个数都是 8 的倍数。

KB ，KiloByte，千字节，顾名思义，1KB = 1000B。MB ，MegaByte，兆字节，1MB = 1000 KB = 1000,000B。GB ，GigaByte，吉字节，1GB = 1000 MB = 1000,000KB = 1000,000,000B。TB ，TeraByte，太字节，以此类推...

二进制与十进制单位

到这里，你可能会有一个疑惑：我们常说 1KB = 1024B，为什么这里是 1000 呢？这里涉及到了千位进位时，采取十进制国际单位制还是二进制单位、以及两者的混淆问题。

1000 这个倍数并不容易简单地通过移位操作（增加或减少“硬币”）的方式来实现，在机器角度实现复杂度要高许多；而 210=1024210=1024，约等于 1000，恰好是移动 10 个二进制位的事情，所以人们也常用 1024 来做换算。这种方法暂时没找到合适的定义，这里我把它称为“千位二进制进位法”。

严格意义来说，采用这种 “千位二进制进位法” 产生的单位，简称不应该是 KB，而是 KiB，全称Kibibyte，是 Kilo Binary Byte 的缩写，这是混淆的根源。

到这里我们已经基本把问题解释清楚了，更具体的表示，参考维基百科的 Kibibyte 词条下的数据量单位换算表格，如下图：

字节的次方单位

在计算机网络、硬盘、U盘、光盘等存储器领域，常用十进制的国际单位制来转换。但占领了几乎全球绝大部分个人电脑的微软 Windows 操作系统中大量使用 “千位二进制进位法” 做单位转换，以及电脑的 CPU 缓存和内存条制造时为考虑到方便寻址，也采用二进制法凑整，造成了更多的混淆。（这也是为什么显示的硬盘容量要比标称的要小许多）

博主电脑 1T 硬盘的实际显示容量

由于混淆已经普遍化，如今我们常说的 KB 也常常指的是 Kibibyte 了。

硬币1	硬币2	硬币3
反	反	反
反	反	正
反	正	反
反	正	正
正	反	反
正	反	正
正	正	反
正	正	正

硬币1	硬币2	硬币3	赋予 8 进制数的意义
反	反	反	0
反	反	正	1
反	正	反	2
反	正	正	3
正	反	反	4
正	反	正	5
正	正	反	6
正	正	正	7

硬币1	硬币2	硬币3
反	反	反
反	反	正
反	正	反
反	正	正
正	反	反
正	反	正
正	正	反
正	正	正

硬币1	硬币2	硬币3	赋予 8 进制数的意义
反	反	反	0
反	反	正	1
反	正	反	2
反	正	正	3
正	反	反	4
正	反	正	5
正	正	反	6
正	正	正	7